In the early part of the Twentieth century several influential philosophers attempted to put Zeno's arguments to work in the service of a metaphysics of ‘temporal becoming’, the (supposed) process by which the present comes into being. Such thinkers as Bergson (1911), James (1911, Ch 10 —11) and Whitehead (1929) argued that Zeno's paradoxes show that space and time are not structured as a mathematical continuum: they argued that the way to preserve the reality of motion was to deny that space and time are composed of points and instants.
Applying the Mathematical Continuum to Physical Space and Time: Following a lead given by Russell (1929, 182-198), a number of philosophers — most notably Grünbaum (1967) — took up the task of showing how modern mathematics could solve all of Zeno's paradoxes; their work has thoroughly influenced our discussion of the arguments. What they realized was that a purely mathematical solution was not sufficient: the paradoxes not only question abstract mathematics, but also the nature of physical reality. So what they sought was an argument not only that Zeno posed no threat to the mathematics of infinity but also that that mathematics correctly describes objects, time and space. The idea that a mathematical law — say Newton's law of universal gravity — may or may not correctly describe things is familiar, but some aspects of the mathematics of infinity — the nature of the continuum, definition of infinite sums and so on — seem so basic that it may be hard to see at first that they too apply contingently. But surely they do: nothing guarantees a priori that space has the structure of the continuum, or even that parts of space add up according to Cauchy's definition. (Salmon offers a nice example to help make the point: since alcohol dissolves in water, if you mix the two you end up with less than the sum of their volumes, showing that even ordinary addition is not applicable to every kind of system.) Our belief that the mathematical theory of infinity describes space and time is justified to the extent that the laws of physics assume that it does, and to the extent that those laws are themselves confirmed by experience. While it is true that almost all physical theories assume that space and time do indeed have the structure of the continuum, it is also the case that quantum theories of gravity likely imply that they do not. While no one really knows where this research will ultimately lead, it is quite possible that space and time will turn out, at the most fundamental level, to be quite unlike the mathematical continuum that we have assumed here.
Supertasks:A further strand of thought concerns what Black (1950-51) dubbed ‘infinity machines’. Black and his followers wished to show that although Zeno's paradoxes offered no problem to mathematics, they showed that after all mathematics was not applicable to space, time and motion. Most starkly, our resolution to the Dichotomy and Achilles assumed that the complete run could be broken down into an infinite series of half runs, which could be summed. But is it really possible to complete any infinite series of actions: to complete was is known as a ‘supertask’? If not, and assuming that Atalanta and Achilles can complete their tasks, their complete runs cannot be correctly described as an infinite series of half-runs, although modern mathematics would so describe them. What infinity machines are supposed to establish is that an infinite series of tasks cannot be completed — so any completable task cannot be broken down into an infinity of smaller tasks, whatever mathematics suggests.
สรุป เนื้อหาและประเด็นปัญหาที่เกิดจากคำถามของเซโน ดังนี้คือ
(1)ปัจจุบัน เรายังไม่แน่ใจว่าโครงสร้างของกาละ-เทศะ มีลักษณะต่อเนื่อง (continuum) ดังที่เราคิดเอาไว้หรือไม่ เพราะในบางกรณีของทฤษฎีควอนตัมสนามโน้มถ่วง(quantum theories of gravity)บอกเราเป็นนัยๆว่า กาละ-เทศะอาจไม่ได้มีลักษณะต่อเนื่องอย่างที่เราคิดไว้ นั่นคือ กาละ-เทศะ อาจไม่ได้มีลักษณะที่อธิบายได้แบบ a mathematical continuum ในปัจจุบัน ซึ่งปัญหาเรื่องความต่อเนื่องของกาละ-เทศะจะยังคงรอการเปิดเผยต่อไป
(2)คำถามของเซโน มิได้ถามเพียงแค่สิ่งที่เรียกว่ารากฐานหรือนามธรรมของคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ถามไปถึงว่า คณิตศาสตร์ อธิบาย หรือสะท้อนความจริงทางกายภาพของฟิสิกส์(วัตถุ กาละ-เทศะ)ได้ถูกต้องมากน้อยแค่ไหน not only question abstract mathematics, but also the nature of physical reality. So what they sought was an argument not only that Zeno posed no threat to the mathematics of infinity but also that that mathematics correctly describes objects, time and space.
(3) Supertasks คือ ตัวอย่างสำคัญที่ยกขึ้นมาเพื่อหักล้างคำอธิบายของ คณิตศาสตร์ปัจจุบัน ที่อ้างว่าสามารถแก้ปมปัญหาของเซโนได้ ผ่านแนวคิดที่ว่า assumed that thecomplete run could be broken down into an infinite series of half runs, which could be summed. แต่ supertasks กล่าวแก่เราว่า แนวคิดทางคณิตศาสตร์แบบนี้มีปัญหาอยู่ เพราะ their complete runs cannot be correctly described as an infinite series of half-runs, although modern mathematics would so describe them. What infinity machines are supposed to establish is that aninfinite series of tasks cannot be completed — so any completable task cannot be broken down into an infinity of smaller tasks, whatever mathematics suggests.
สรุปได้ว่า ปัญหาเรื่องธรรมชาติของกาละ-เทศะ มีความความต่อเนื่องแบบไหน? แบ่งได้หรือไม่? ก็ัยังเป็นปัญหาต่อไปทั้งต่อวงการคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ และำคำถามว่าคณิตศาสตร์ปัจจุบันอธิบายสรรพสิ่ง-กาละ-เทศะ-ถูกต้องหรือไม่เพียงใด ก็ยังคงเป็นปัญหาต่อไปอีกนานเท่านาน ตราบเท่าที่ไม่มีการคิดค้นรากฐานของคณิตศาสตร์แบบใหม่ๆขึ้นมา...งั้นเรามาคิดค้นรากฐานคณิตศาสตร์แบบใหม่กัน คณิตศาสตร์ที่แก้ปัญหาเรื่องความต่อเนื่องของกาละ-เทศะได้
โปรดติดตามตอนต่อไป
จุด จำนวน และวัตถุแห่งการคิด กับคณิตศาสตร์แห่งแสง(ตอนที่ 3)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น