จุด จำนวน และัวัตถุแห่งการคิด กับคณิตศาสตร์แห่งแสง(ตอนที่ 6)

However, Albert Einstein stated that "as far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality."

ยกตัวอย่าง กรณีปัญหาของเซโน เรื่อง กระต่ายกับเต่าวิ่งแข่งกัน

สมมติให้  ขณะออกวิ่งนั้น เต่านำหน้ากระต่ายอยู่ 80 เมตร และวิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ส่วนกระต่ายวิ่งด้วยความเร็ว 60 เมตร/วินาที  ถามว่า กระต่ายวิ่งทันเต่าเมื่อเวลาผ่านไปเท่าใด

คำตอบ...

เนื่องจาก  ความหมายของกระต่ายวิ่งทันเต่าก็ืคือ ทั้ง 2 วิ่งได้ระยะทางเท่ากัน เขียนเป็นสมการดังนี้

ระยะทางของกระ่ต่าย = ระยะทางของเต่า

vt(กระต่าย) = 80+ vt(เต่า)

60t=80+20t

    t=2 วินาที

นั่นคือ ณ เวลา t=2 วินาที กระต่ายวิ่งทันเต่าพอดี

พิสูจน์

กระต่ายวิ่งได้ระยะทาง    60*2=120 เมตร

เต่าวิ่งได้ระยะทาง    80+20*2=120เมตร

คำอธิบายข้างต้นของฟิสิกส์ที่วางบนรากฐานคณิตศาสตร์ปัจจุบันต้องเผชิญปัญหา เมื่อต้องไปอธิบายเรื่องที่เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ ซึ่งเป็นเรื่องที่สัมพันธ์กับกาละ-เทศะ ยิ่งใช้คณิตศาสตร์อธิบาย ฟิสิกส์ก็ยิ่งห่างไกลความจริงออกไปทุกที ดังคำกล่าวของไอน์สไตน์ข้างต้นที่ว่า "as far as they are certain, they do not refer to reality"

นั่นเป็นเพราะว่าฟิสิกส์ต้องจำใจยอมรับวิธีคิดทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้คือ จุดของสถานที่ และเวลาที่เชื่อว่าสามารถแสดงผ่านจำนวนจริงบนเส้นจำนวนได้ ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกะ เช่น ค่าไพ ก็ตาม

ซึ่งรากฐานคณิตศาสตร์แบบนี้ ไม่สอดคล้องกับความเป็นจริงทางฟิสิกส์ ที่กาละ-เทศะมีความต่อเนื่อง และไม่สามารถแบ่งหรือตัดให้ขาดออกจากกัน  

ดังนั้นการที่คณิตศาตร์ตัดความต่อเนื่องให้ขาดเหลือเพียงตัวเลขกลมๆเช่น t=2 s  s=120m v=60 m/s เหล่านี้เป็นผลที่เกิดจากตรรกะทางคณิตศาสตร์ หรือ mathematical logic ซึ่งเรียกได้ว่าเป็นเพียง logical truths อย่างหนึ่งเท่านั้น ไม่ใช่สัตภาวะที่แท้จริงของฟิสิกส์แต่อย่างใด

นั่นเป็นเพราะว่า เกิดจากมรดกตกทอดของคณิตศาสตร์ที่ไปบิดเบือนสภาพที่แท้จริงในโลกแห่งฟิสิกส์ เพราะคณิตศาสตร์เกิดจากประสบการณ์เกี่ยวกับวัตถุของมนุษย์...เป็นการคิดที่เกิดขึ้นจากประสบการณ์ตรงที่เรียกว่า "วัตถุเชิงประสบการณ์"

In mathematics, intuitionism is a program of methodological reform whose motto is that "there are no non-experienced mathematical truths" (L.E.J. Brouwer). From this springboard, intuitionists seek to reconstruct what they consider to be the corrigible portion of mathematics in accordance with Kantian concepts of being, becoming, intuition, and knowledge. Brouwer, the founder of the movement, held that mathematical objects arise from the a priori forms of the volitions that inform the perception of empirical objects. (CDP, 542)

Rather than focus on narrow debates about the true nature of mathematical truth, or even on practices unique to mathematicians such as the proof, a growing movement from the 1960s to the 1990s began to question the idea of seeking foundations or finding any one right answer to why mathematics works. The starting point for this was Eugene Wigner's famous 1960 paper The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, in which he argued that the happy coincidence of mathematics and physics being so well matched seemed to be unreasonable and hard to explain.

นั่นคือ กาละ-เทศะในทางฟิสิกส์ถูกทำให้กลายเป็นควอนตัม(ผ่านการตีความของคณิตศาสตร์) ทำให้สุดท้ายแล้วฟิสิกส์ถูกครอบงำโดยอิทธิพลของคณิตศาสตร์

แต่เมื่อมนุษย์ ต้องเผชิญกับสิ่งที่ไม่มีประสบการณ์เช่น ความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ ซึ่งเป็นอีกโลกหนึ่ง(ในสายตาของคณิตศาสตร์) แต่เป็นจริงในแวดวงฟิสิกส์

ความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ ย่อมทำให้คณิตศาสตร์แบกรับปัญหาใหญ่หลวง คือ ต้องรับใช้และอธิบายโลกแห่งความเป็นจริงในแบบที่มือของตนเอื้อมไปไม่ถึง สุดท้ายแล้วคณิตศาสตร์ก็ตกม้าตาย คือ ยากที่จะอธิบาย(hard to explain)ความจริงทางฟิสิกส์ พูดสั้นๆแบบไม่เกรงใจคือ "อธิบายไม่ได้"

ดังนั้นปัญหาที่ซุกซ่อนอยู่ในระบบคิดของคณิตศาตร์นี้ ทำให้ฟิสิกส์ต้องกลายเป็น "ลิงติดแห" เมื่อต้องยืมคณิตศาตร์มาช่วยแก้ปัญหาว่าด้วยความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ  ดังที่เซโนแห่งอีเลียแกล้งถามยั่วเอาไว้เมื่อ 2500 กว่าปีที่ผ่านมา...นั่นคือ ความต่อเนื่องแบ่งได้หรือไม่?

ที่เป็นเช่นนี้ เพราะรากฐานของคณิตศาสตร์ถูกสร้างมาจากควอนตัมล้วนๆ โดยเฉพาะสิ่งที่เรียกว่า 1 ซึ่งเป็นสิ่งที่แปลกประหลาดที่สุด อย่างน้อยๆในอารยธรรมกรีกโบราณก็เคยสงสัยและถามถึงสิ่งที่เรียกว่า 1 มาก่อน แสดงว่าความเข้าใจของมนุษย์เกี่ยวกับ 1 นั้น เป็นเรื่องซับซ้อนมาก  

เ่ช่น 

In the real number system, 1 can be represented in two ways as a recurring decimal: as 1.000... and as 0.999... (q.v.).

Formalizations of the natural numbers have their own representations of 1:

in the Peano axioms, 1 is the successor of 0;

in Principia Mathematica, 1 is defined as the set of all singletons (sets with one element);

the Von Neumann representation of natural numbers, 1 is defined as the set {0}.

1 is the empty product.

ขณะเดียวกันการยอมรับอย่างง่ายดายว่า 1 เป็นจุดเริ่มต้นของการนับ และเป็นรากฐานอันแข็งแกร่งของคณิตศาสตร์เรื่อยมา โดยไม่เคยถูกตั้งคำถามเลยว่าระบบคิดของมัน-คณิตศาสตร์-สะท้อนโลกแห่งความเป็นจริงได้มากน้อยเพียงใด และหรือมันมีปัญหา อย่างที่ไอน์สไตน์สงสัย?

เรามาพิจารณา 3 กรณี ตัวอย่างต่อไปนี้

1 เวลาเป็นควอนตัม แต่ระยะทางต่อเนื่อง

กระต่ายวิ่งได้ระยะทาง    60pi*2=120pi เมตร

เต่าวิ่งได้ระยะทาง    80pi+20pi*2=120piเมตร

นั่นคือ หากเราพยายามกำหนดให้เวลาเป็นควอนตัม(ไม่ต่อเนื่อง) คือ มีจุดของเวลา เราจะถูกบังคับให้ต้องไปค้นหาตำแหน่งของเทศะ ซึ่งเราไม่มีทางบอกหรือวัดได้ว่าปลายสุดของค่าไพอยู่ที่ใด รู้แต่เพียงว่ามันมีอยู่ และอยู่ที่นั้นบนเส้นจำนวนแห่งกาละ-เทศะ

2 เวลาเป็นสิ่งต่อเนื่อง แต่ระยะทางเป็นควอนตัม

กระต่ายวิ่งได้ระยะทาง    60i*2=120 เมตร ณ เวลาผ่านไป 2pi วินาที= 2*3.14159265... วินาที

เต่าวิ่งได้ระยะทาง    80+20*2=120 เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 2pi วินาที= 2*3.14159265...วินาที

นั่นคือ หากต้องการจุดแน่นอนบนเทศะ เราจะถูกบังคับให้ต้องวัดเวลาในหน่วยวินาที ที่มีทศนิยมไม่รู้จับ ซึ่งมนุษย์ไม่มีวันกระทำได้เลย...ดังนั้นเมื่อเราไม่มีทางวัดเวลาแบบนี้ได้ เราจึงต้องกำหนด df ของเวลา ซึ่งเป็นวิธีการลดทอนสัตภาวะของกาละ ลงมาให้เป็นความจริง(ตีความผ่าน df) ลดทอนเทศะลงมาให้เหลือในระดับที่มนุษย์เข้าใจได้และวัดได้ นั่นเอง

3 เวลาเป็นสิ่งต่อเนื่อง และระยะทางเป็นสิ่งต่อเนื่อง

กระต่ายวิ่งได้ระยะทาง    60pi*2=120pi เมตร ณ เวลาผ่านไป 2pi วินาที นั่นคือกระต่ายวิ่งด้วยความเร็ว 60 เมตร/วินาที  ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกับหน่วยวัดปัจจุบันนั่นเอง

เต่าวิ่งได้ระยะทาง 80pi+20pi*2=120pi เมตร เมื่อเวลาผ่านไป 2pi วินาที นั่นคือเต่าวิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที(ระยะทางนำหน้ากระต่ายขณะออกวิ่งไม่นับ) ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกับหน่วยวัดปัจจุบันนั่นเอง

ดังนั้นคณิตศาสตร์แห่งแสง จึงเป็นขอบฟ้าใหม่ของรากฐานทางคณิตศาสตร์เมื่อต้องรับมือกับปัญหาเรื่องความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ หรือเมื่อต้องรับมือกับลัษณะของความต่อเนื่องที่เป็นควอนตัม 

คณิตศาสตร์แห่งแสงจึงเป็นรากฐานและเป็นความหวังอันสวยงามที่มนุษย์จะพิิชิตความต่อเนื่องได้ในอนาคต