วันเสาร์ที่ 7 มีนาคม พ.ศ. 2552

จุด จำนวน และวัตถุแห่งการคิด กับคณิตศาสตร์แห่งแสง(ตอนที่ 3)


ในคณิตศาสตร์ปัจจุบันมีจำนวนสำคัญอยู่ชุดหนึ่งที่มีบทบาทสำคัญต่อรากฐานของคณิตศาสตร์มาก
คือ 0, 1,  i, pi(π) และ e

เช่น The number e is one of the most important numbers in mathematics, alongside the additive and multiplicative identities 0 and 1, the constant π, and the imaginary unit i. The mathematical constant e is the unique real number.

Since e is transcendental, and therefore irrational, its value cannot be given exactly as a finite or eventually repeating decimal. The numerical value of e truncated to 20 decimal places is
2.71828 18284 59045 23536….

และ  Pi or π is a mathematical constant whose value is the ratio of any circle's circumference to its diameter in Euclidean space; this is the same value as the ratio of a circle's area to the square of its radius. It is approximately equal to 3.14159 in the usual decimal notation. 

π is one of the most important mathematical and physical constants: many formulae from mathematics, science, and engineering involve π.

π is an irrational number, which means that its value cannot be expressed exactly as a fraction m/n, where m and n are integers. Consequently, its decimal representation never ends or repeats. It is also a transcendental number, which means that no finite sequence of algebraic operations on integers (powers, roots, sums, etc.) can be equal to its value; proving this was a late achievement in mathematical history and a significant result of 19th century German mathematics.

ความสัมพันธ์ระหว่าง 0, 1, e, π, and  i

e^iπ+1=0

(สมการออยเลอร์Euler's Equation อ่านว่า อียกกำลังไอไพบวกหนึ่ง เท่ากับ ศูนย์ สมการนี้เป็นสุดยอดในการรวมเข้ากับสมการของแมกซ์เวลล์ และสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ในศตวรรษที่ 18 นักฟิสิกส์ชอบสมการนี้ เพราะว่าเป็นสมการที่รวมหลักทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน 9 อย่าง ในสมการเดียว คือ π(ไพ) i(ไอ)เป็นรากที่สองของลบหนึ่ง(เป็นจำนวนจินตภาพ) และ e(อี)มีค่า 2.71828 ส่วนพื้นฐานอีก 6 อย่างที่เหลือคือ การคูณ การบวก การเท่ากับ ศูนย์ หนึ่ง และเลขชี้กำลัง สมการออย
เลอร์เป็นโครงสร้างของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ไม่มีแนวทางในการนำไปปฏิบัติที่แจ่มชัด แม้ว่าจะเป็นสิ่งที่นักฟิสิกส์หลายๆ คนกล่าวเป็น “สิ่งที่สวยงาม”ก็ตาม)

ดังนั้น e^iπ= -1
และเราเขียนใหม่ได้ว่า
-e^iπ=1= a^0 เมื่อ aไม่เท่ากับ 0
หรือ e^(2iπ)= e^0 = 1.

นั่นแม้ว่า 1 จะเริ่มจากจากจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติที่เป็นวัตถุแห่งการคิด แต่ในแง่ของการอธิบายที่มาอันเกิดจากการนิรนัยทางคณิตศาสตร์ เราพบว่าที่มาของ 1 มาได้หลายทาง และแต่ละทางก็พิลึกแปลกๆมีแนวทางของตนเองดังตัวอย่างที่แสดงข้างต้น ราวกับว่ารากฐานให้กำเนิดจำนวนที่เรียกว่า 1 เป็นเรื่องเกินสามัญจินตนาการเข้าถึงได้...ประหลาดดีแท้

แต่ระบบคณิตศาสตร์ปัจจุบันที่ถูกสร้างมาจากการนิรนัยแปลกประหลาด หรืออาจสร้างมาจากวัตถุแห่งการคิดตามที่กล่าวมาทั้งหมดนี้ก็มีปัญหาเมื่อต้องอธิบายสมบัติของกาละ-เทศะ  ซึ่งมนุษย์เชื่อว่ามีความต่อเนื่อง ขณะเีดียวกันเริ่มมีนัยยะจากทฤษฎีควอนต้มสนามโน้มถ่วงว่ากาละ-เทศะอาจไม่ต่อเนื่อง นั่ นคือว่า กาละ-เทศะ อาจมีธรรมชาติทั้ง 2 สภาวะคือ ต่อเนื่อง และควอนตัม(ไม่ต่อเนื่อง)

ดังนั้น หากต้องการสร้างรากฐานคณิตศาสตร์ให้มั่นคงแข็งแรง และรับมือต่อกรกับปัญหา 2 สถานะของกาละ-เทศะ  แล้วจำนวนแรกสุด-คือ 1-ควรต้องสร้างมาจากบางสิ่งที่เป็นพื้นฐานที่สุดในจักรวาล แต่มีคุณลักษณะพร้อม 2 ลักษณะในตัวเองคือ ต่อเนื่องและควอนตัม

ย้อนมองรอบๆตัว เราพบว่าสิ่งที่เป็นพื้นฐานที่สุดและมหัศจรรย์ที่สุดในจักรวาลคือ แสง 
แสงในฐานะคลื่น จะมีลักษณะของความต่อเนื่อง  แต่ขณะเดียวกันแสงในฐานะอนุภาค(โฟตอน)ก็มีลักษณะเป็นควอนตัม(ที่ต่อเนื่องมาจากคลื่น)

ดังนั้นสมบัติของแสงจึงเหมาะสมที่สุดในการเป็นตัวแทนของคณิตศาสตร์แบบใหม่ เพื่ออธิบาย กาละ-เทศะ ซึ่ง(อาจ)มีธรรมชาติทั้งต่อเนื่อง และควอนตัม

แต่ขณะเดียวกันแสง ก็มีธรรมชาติิติดตัวที่สำัคัญ คือเส้นตรง(รังสีของแสง) และวงกลม(เช่น เมื่อเรามองย้อนแสง) ขณะเดียวกันวงกลมก็เป็นสิ่งมหัศจรรย์อีกสิ่งหนึ่งของจักรวาลนี้ เพราะเป็นสมบัติพื้นฐานของการหมุน อะตอม และ ควากส์ เป็นต้น

แน่นอนเมื่อแสง(เส้นตรง) และวงกลมต้องมาสัมพันธ์กัน สิ่งหนึ่งที่เกิดขึ้นตามมาจากความสัมพันธ์นี้ก็คือค่าไพ ซึ่งเกิดจากอัตราส่วนของเส้นผ่าูศูนย์กลาง(เ้ส้นตรง)กับเส้นรอบวง(วงกลม)

ก็หากสิ่งพื้นฐานในคณิตศาสตร์คือ 0, 1,  i, e, π
แสง เส้นตรง วงกลม และค่าไพ ก็คือสิ่งพื้นฐานในจักรวาลเช่นกัน และมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดคือ e^iπ+1=0

คณิตศาสตร์ที่สร้างมาจากแสง วงกลม ค่าไพ อาจมีชื่อเรียกแตกต่างกันไป เช่น คณิตศาสตร์แห่งแสง คณิตศาสร์แห่งไพ หรือ คณิตศาสตร์แห่งวงกลม ฯลฯ แต่ไม่ว่าเรียกชื่อใด ก็คือ รากฐานของคณิตศาสตร์แบบใหม่ที่เกิดขึ้นเพื่ออธิบายกาละ-เทศะ และอื่นๆในระบบคณิตศาสตร์ปกติ

คณิตศาสตร์ใหม่นี้จึงเกี่ยวเนื่องกับความต่อเนื่อง(คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า)และควันตัม(โฟตอน) และ π เป็นตัวแทนที่ดีที่สุดของสิ่งที่เรียกว่าจำกัด(ควอนตัม)แต่ไร้ขอบเขต(ต่อเนื่อง) หรือ finite but unbounded 

แน่นอนคณิตศาสตร์ ต้องเริ่มจากจำนวนเริ่มแรกสุดคือ 1
และเพื่อให้ 1 เป็นจำนวนพื้นฐานที่มีสมบัติยิ่งใหญ่ดังที่เรากล่าวมาแล้ว จึงกำหนดใ้ห้จำนวนนับในอุดมคติคือ 1π ซึ่งเป็นจำนวนเพื่อใช้อธิบายกาละ-เทศะเป็นหลัก(สำหรับในกรณีทั่วไปนั้น ก็นิรนัยลดทอนให้เหลือ 1 ซึ่งก็คือรากฐานของคณิตศาสตร์ปัจจุบันนั่นเอง)


เมื่อเราได้ 1π สัญลักษณ์ 1(ตัวหนา) หากเรากำหนดให้เส้นจำนวนแทนกาละ-เทศะ เราจะพบคุณสมบัติสำคัญดังนี้คือ ณ จุดใดๆที่แทนค่า 1 จะมีลักษณะดังต่อไปนี้
  • มีค่าที่แน่นอน คือ π=3.14159... หรือ 1
  • จุดที่ค่า 1 ตั้งอยู่บนกาละ-เทศะ มีอยู่จริง แต่อยู่ที่นั่นคือ being there
  • จำกัดแต่ไร้ขอบเขต คือ 1π หรือ 1 เป็นค่าจำกัดและแน่นอน แต่ไร้ขอบเขต เพราะปลายสุดของมันอยู่ที่นั่น
  • รองรับสภาวะของกาละ-เทศะ ซึ่งอาจมีลักษณะต่อเนื่อง(คลื่น) และ/หรือมีลักษณะแบบควอนตัม(อนุภาค)
  • เนื่องจาก π/π=1 ดังนั้น π^0=1ด้วย
  • π/π=π^0=1 นั่นคือ 1ในระบบคณิตศาสตร์ปกติ เกิดจากการวิธีการนิรนัยด้วยสมการที่กล่าวมานี้ ทำนองเดียวกับ 1ที่เกิดจากการนิรนัยที่ว่า a^0=1=-e^iπ=e^0
ตอนต่อไป(ตอนที่ 4) จะพยายามอธิบายความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ..แม้ยากก็ต้องลองดู

As Tears Go By - Felicia
เขียนโดย ที่
ป้ายกำกับ:

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)