http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/epii.html
เมื่อวันที่ไอน์สไต์สงสัยความถูกต้องของคณิตศาสตร์
In his book, Einstein-A Life, Denis Brian writes,
"[Einstein] demonstrated his cavalier attitude toward math one afternoon in a café when he and engineer Gustave Ferriere were discussing math’s rigid rules. Einstein placed five matches on the table and asked, ‘What is the total length of these five matches if each is two and a half inches long?’ ‘Twelve and a half inches,’ Ferriere replied. ‘That’s what you say,’ said Einstein. ‘But I very much doubt it. I don’t believe in mathematics.
อะไรคือสิ่งที่ไอน์สไตน์สงสัย?
ในความคิดของผม ผมเข้าใจเอาเองว่าไอน์สไตน์สงสัยในสิ่งที่อธิบายให้คนอื่นเข้าใจตามได้ยาก แต่ก็คงมีเนื้อหาทำนองนี้ คือ(เพราะว่าผมก็สงสัยด้วยเหมือนกัน ถือว่าสงสัยร่วมกัน ก็ช่วยกันแก้ปัญหาก็แล้วกัน)
- ก้านไม้ขีดในทางคณิตศาสตร์ยาว 2.5"เป็นสังกัป/concept เป็นหน่วยวัดในความคิด นั่นคือ เป็นเครื่องมือช่วยคิด ในทางคณิตศาสตร์
- ความต่อเนื่อง คือ? เช่น ความยาวที่เป็นผลรวม 5*2.5" =12.5" เกิดจากการคำนวณที่อาศัยตรรกะการบวกหรือคูณของคณิตศาสตร์
- กรณีก้านไม้ขีดที่ผลิตได้จริง ขอบเขตของ 2.5" มันอาจสิ้นสุดที่ระดับโมเลกุล อะตอม หรือควากส์(ซึ่งเป็นหน่วยเล็กที่สุดที่แบ่งต่อไปไม่ได้อีก) เหล่านี้เป็นความยาวที่พอจะผลิต หรือวัดได้ในระดับนาโนเมตร พิโคเมตร หรืออะตอมเมตร นั่นคือเราอาจนำก้านไม้ขีดทั้ง 5 ก้านมาเรียงต่อกันในระดับพิโคเมตรได้ความยาวเท่ากับ 12.5"
- แต่จุดสิ้นสุดของความยาว 2.5" หรือ 12.5" อยู่ที่จุดใดที่แน่ชัดนั้น เราไม่มีทางรู้ได้...เพราะหากวัดในระดับอะตอม ปลายสุดของความยาวดังกล่าวก็คือ รัศมีของอิเลคตรอนตัวชั้นนอกสุดที่เชื่อมต่อกับอิเลคตรอนของอะตอมถัดไปของก้านไม้ขีดถัดไป ซึ่งหากอิเลคตรอน 2 ตัวเชื่อมตัวกันก็คือ การชนกันซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่อิเลคตรอนจะชนกันอันเกิดจากการนำมารวมตัวกัน ดังนั้นสิ่งที่ไอน์สไตน์สงสัยก็คือว่า ก้านไม้ขีดทั้ง 5 ก้านนั้น เรียงต่อกันอย่างไร? มีช่องว่างระหว่างกัน? จึงจะทำให้ความยาวรวมเท่ากับ 12.5"
- กรณีของเทศะ(และหรือกาละ)เราอาจอนุมานความยาวได้จากผลรวมของก้านไม้ขีด เพราะเมื่อนำก้านไม้ขีดมาเรียงต่อแนบชิดสนิทที่สุด เราอาจกล่าวได้ว่าความยาวรวม คือผลรวม(ตามตรรกะคณิตศาสตร์)ของเทศะ 5*2.5"=12.5"
- แต่เทศะมีธรรมชาติประการหนึ่งคือความต่อเนื่อง โดยไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยที่เล็กที่สุด ความยาวของก้านไม้ขีดเป็นเรื่องทางกายภาพของวัตถุ ไม่ได้เกี่ยวกับเทศะเลย เพราะเทศะนั้นมีธรรมชาติที่แปลกประหลาดกว่าก้านไม้ขีดที่เป็นสสารมาก
- สิ่งที่ไอน์สไตน์สงสัย คือว่าความยาวของก้านไม้ขีดตามโจทย์ คือในแบบเทศะที่ว่ายาว 2.5" คือ เราไม่รู้ว่าจะให้มันเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดใด เพราะค่า 2.5" บอกแก่เราว่าเริ่มต้นจากจุดที่มากกว่าศูนย์(ซึ่งไม่รู้ว่าจำนวนนั้นคืออะไร มีค่าเท่าไหร?) และก้านไม้ขีดสิ้นสุดที่ 2.5" ซึ่งจุดที่ 2.5" อยู่นั้นไม่มี(คือว่า 2.4999...(ซ้ำไม่รู้จบ) ไม่มีวันก้าวกระโดดไปถึง 2.5" ได้เลย(เพราระจุดที่ 2.5" อยู่นั้นไม่มีขนาด)
- สิ่งที่ไอนสไตน์สงสัยคณิตศาสตร์คือว่า คณิตศาสตร์อธิบายเทศะ(รวมทั้งกาละ)ได้ถูกต้องมากน้อยเพียงใด การที่เขาไม่เชื่อ เพราะเขาเห็นปัญหาที่ถูกซุกซ่อนเอาไว้ในคณิตศาสตร์
- แต่มันยากในการอธิบายให้คนอื่นเห็นว่า คณิตศาสตร์ตัวมันเองมีปัญหาในการอธิบายสิ่งที่"ต่อเนื่อง"อย่างเทศะ (ซึ่งแบ่งไม่ได้) เพราะหากแบ่งแล้ว เราไม่อาจหาจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด ทั้งการแบ่งเทศะจะนำไปสู่ปัญหาที่ใหญ่กว่าคือ มันแบ่งได้ไม่สิ้นสุด ขณะที่มันเป็นสิ่งจำกัด(เพราะถูกเราตัดหรือกำหนดแบ่งไว้แล้ว) นั่นคือ การกำหนดจุดเริ่มต้นหรือสิ้นสุดนำเราไปสู่กับดักอันใหม่ เรื่องการแบ่งได้ไม่สิ้นสุด(ซึ่งเซโนแห่งอีเลีย ได้ตั้งคำถามปัญหาเกี่ยวกับความต่อเนื่องไว้มากกว่า 2500 ปีแล้ว)
สิ่งที่ไอน์สไตน์สงสัย ก็คือปัญหาเรื่องความต่อเนื่องของกาละ-เทศะนั่นเอง
เขาสงสัยว่าคณิตศาสตร์ปัจจุบันสะท้อน หรืออธิบายความจริงเกี่ยวกับกาละ-เทศะได้ถูกต้องมากน้อยเพียงใด และเขาสรุปว่าเขาไม่เชื่อว่าคณิตศาสตร์ปัจจุบันสามารถอธิบายกาละเทศะให้ถูกต้องได้ ดังประโยคอมตะที่ว่า but I very much doubt it. I don't believe in mathetics.
ดังนั้นปมปัญหาเรื่องความต่อเนื่อง ซึ่งมีมายาวนานกว่า 2500 ปี ตราบถือยุคไอน์สไตน์ และปัจจุบัน ก็ยังไม่มีคำตอบที่น่าพอใจให้แก่คำถามนี้เลย
ทางออก?
สมมติว่าเราแทนเส้นจำนวนด้วยเทศะ(และหรือกาละ) เราจะพบว่าเส้นตรงนี้จะมีความต่อเนื่อง
เราจะไม่นิยามว่า เส้นตรง คือเซตทางเดินของจุด เพราะเราไม่มีจุดในจินตนาการแบบเดิมๆอีกต่อไป
หากเรามองว่า เส้นจำนวนนี้มีความต่อเนื่อง การจะกำหนดว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้น และ 1 อยู่ ณ ตำแหน่งใดเป็นเรื่องยากที่สุด และทำไม่ได้เลย เพราะจุดที่ 1 ตั้งอยู่นั้นไม่มีขนาด เมื่อไม่มีขนาดก็คือ 1 นั้นลอยอยู่บนเส้นจำนวน หาตำแหน่งหรือที่ลงให้กับ 1 ไม่ได้
แต่หากเราเปลี่ยนวิธีคิดใหม่ นั่นคือ หากเราสมมติกำหนดให้ 1 เป็นจำนวนเท่าของค่าπ จุดที่ 1 อยู่บนเส้นจำนวน(การวัดระยะให้ได้เท่ากับไพแล้วกำหนดให้เป็น 1 หน่วย) ก็คือ จุดที่ 3.14159265...นั่นคือ ปลายสุดของ 1 อยู่ที่นั่น being there
และเนื่องจากเป็นการยากที่จะกำหนดจุดเริ่มต้น(origin) ดังนั้น
หากเราต้องการพลอต(plot)กาละหรือเทศะ ให้อยู่ในรูปของระบบเ้้ส้นจำนวน ที่มีแกนนอน(x) และแกนตั้ง(y) ก็สามารถกระทำได้ัดังนี้
นั่นคือ เริ่มแรกเราก็จะมีตำแหน่งของจุดเริ่มต้น คือ 1(ซึ่งก็คือ 1π) ถัดจากนั้นก็จะเป็น 2(เช่นเดิมคือ 2π)
และเป็น 3,4,5....infinity หากเราต้องการให้มีจุดเริ่มต้น ณ ตำแหน่งใด เราก็เลื่อนแกน y ไปทางซ้ายหรือขวาก็ได้ เพราะแกนyจะไปสร้างกรอบอ้างอิง(reference)ว่า ณ จุดใดเป็นจุดเิริ่มต้น เช่น เราเลื่อนให้แกน yไปเริ่มต้น ณ ตำแหน่ง 3(ก็คือ 3π) ดังนั้นทางขวาของจุดเริ่มต้นนี้ หรือ 4(ก็จะกลายเป็น1) 5(ก็จะกลายเป็น2) เป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆถึง infinity ขณะที่ทางซ้ายมือของจุดเริ่มต้น หรือเริ่มจาก 2(ก็จะกลายเป็น-1) 3(ก็จะกลายเป็น-2) เป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆ กระทั่งถึง infinity
ดังนั้นตำแหน่งหรือจัดที่ตัดกันของแกน และแกน ก็คือ จุดเริ่มต้น ซึ่งกล่าวไม่ได้ว่า คือจุด หรือไม่ กล่าวได้แต่เพียงว่าเป็นจุดเริ่มต้น เพราะเส้นจำนวนนี้มีความต่อเนื่อง
(แต่หากจะกำหนดว่าเป็นจุด(0,0) ก็เพื่อความสะดวกในแง่กระบวนการสอนหรือการคิดเท่านั้นเอง แต่จุด(0,0) มิใ่ช่ภาพสะท้อนอันแท้จริงของสัตภาวะของกาละ-เทศะแต่อย่างใด)
อย่างไรก็ตาม เราอาจตัดให้เส้นจำนวน(แห่กาละหรือเทศะ)นี้ขาดได้ โดยอาศัญสิ่งที่เรียกว่า ดีกรีออฟฟรีดอมหรือ degree of freedom : df
นั่นคือหาก เรากำหนดว่าจุดสิ้นสุดของค่า π ตัวแรกที่ทศนิยม 8 ตำแหน่ง คือ 3.141 592 65 จุดเริ่มต้นของค่า π ตัวถัดไปจะเริ่มต้นที่ 3.141 592 66 ซึ่งมีค่าต่างกัน 0.000 000 01 และ เราสามารถกำหนด df ณ ทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่งล้าน หรือ หมื่นล้านฯลฯ เท่าที่มนุษย์ต้องการหรือมีสติปัญญาจะกำหนดได้
ต่างกับระบบเดิมอย่างไร?
ดูผิวเผินเหมือนไม่แตกต่าง คือจุดสองสุดบนเส้นจำนวน เช่น 1.999 999 99...กับ 2 ห่างกัน 0.000 000 0...1 ขึ้นอยู่กับตำแหน่งทศนิยม แต่ที่แตกต่างคือ ค่าπ เป็นค่าที่แน่นอนคือจ ำกัดแต่ไร้ขอบเขต ขณะที่ 1.999...ซ้ำไม่รู้จบนี้ เป็นค่าที่ไม่แน่นอนและไร้ขอบเขต
ความต่างนี้มีลักษณะพิเศษและเป็นส่วนที่สำคัญ เพราะทำให้เรากำหนดได้ว่าปลายสุดของ 1 ได้ว่าอยู่ที่นั่นคือ 3.14159265... ซึ่งเป็นค่าที่แน่ชัด แต่ธรรมชาติการวิ่งเข้าไปหาค่่าที่แน่นอนของ π นั้น มีการส่ายซัดไปมาระหว่างตัวเลขทั้ง 10 ตัว(ที่เกิดจากความสัมพันธ์ของอนุกรมที่ต่อเนื่องทำให้เกิดค่า่แบบสุ่ม) ขณะที่ระบบคณิตศาตร์แบบเก่าๆนั้น จะใช้เพียงค่าเดียวคือเลข 9 เท่านั้นเพื่อบรรยายให้เห็นค่าสูงสุดก่อนกระโดดไปหาค่าถัดไป ซึ่งเป็นธรรมชาติที่เกิดจากจินตนาการของมนุษย์ ซึ่งอาจผิดมากกว่าถูก และเมื่อต้องเผชิญกับปัญหาเรื่องความต่อเนื่อง เราก็จะเห็นได้ว่ามันทั้งพิการและเป็นใบ้
ดังนั้น กรณีปัญหาที่ไอน์สไตน์ยกมาข้างต้น คือ ก้านไม้ขีด 5 ก้านยาวก้านละ 2.5"
เราพบว่า หากต้องการกำหนดลงบนเส้นจำนวนที่ 1 มีความยาวเท่ากับ 3.14159265... จะได้ดังนี้
5*2.5"*3.14159265...= 12.5*π
ซึ่งเป็นจำนวนอดิสัย เป็นจำนวนอตรรกยะ มีจำนวนทศนิยมไม่ซ้ำและไม่รู้จบ
นั่นคือ การบอกว่า 12.5*π คือ ตัวแทนของเทศะ ที่แบ่งไม่ได้ เพราะีมีปัีญหาเรื่องทศนิยมตำแหน่งสุดท้าย นั่นเอง
ขณะเดียวกันเมื่อมีปัญหาในเรื่องขอบเขต(เพราะไร้ขอบเขต unbounded) ปัญหาเรื่องการกำหนดจุดกึ่งกลางจะทำได้?
เพราะสามัญสำนึกกล่าวว่า จุดกึ่งกลางจะหาได้ ต้องรู้จักจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเสียก่อน(ในทางปฏิบัติก็เป็นแบบนี้เหมือนกัน) แต่กรณีจุดกึ่งกลางตามตามอย่างนี้ก็คือ 12.5*π หรือ 6.25*π ซึ่งเรากำหนดในทางปฏิบัติไม่ได้ เพราะไม่รู้ทั้งจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด เว้นแต่กรณีเดียวเท่านั้นคือ กำหนด df เสียก่อน
ดังนั้น การแบ่งสิ่งที่จำกัดแต่ไร้ขอบเขต คือ 12.5*π ด้วยการแบ่งครึ่งออกไปเรื่อยๆนั้น ต้องยอมรับว่าเราไม่มีสติปัญญาแบ่งครึ่งได้เลยทั้งในโลกแห่งแนวคิด และยิ่งในทางปฏิบัติยิ่งทำไม่ได้เลย
แต่เราอาจแบ่งครึ่งได้เรื่อยๆในแง่ของสัญลักษณ์ หรือการกระทำทางคณิตศาสตร์(ซึ่งเป็นผลของตรรกะ เช่น ตรรกะทำให้ a^0=1, e^iπ = -1 หรือ a/0 หาค่าไม่ได้ เป็นต้น)
ดังนั้นโดยสรุปคือว่า เราไม่อาจแบ่งครึ่งกาละ-เทศะ เพราะเหตุผลสำคัญที่สุดคือ เราไม่รู้ว่า จุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดอยู่ตรงไหนนั่นเอง นั่นคือ เพราะมันต่อเนื่องมันจึงไม่มีจุดเริ่มต้น หรือสิ้นสุดในแบบที่เราคุ้นชิน
แต่การพยายามแบ่ง กาละ-เทศะ ด้วยการกำหนด df เท่ากับว่าเป็นการไปลดทอนสัตภาวะ(being)ของกาละ-เทศะที่เดิมเป็นของต่อเนื่อง ให้ลดทอนมาเป็นคณิตศาสตร์แบบพื้นฐานทั่วๆไป
ดังนั้นคณิตศาสตร์ปัจจุบันที่กำหนด ให้มีจุดของเทศะหรือกาละ เช่น 1/พ้นล้านวินาที เป็นการลดทอนความจริงเกี่ยวกับสัตภาวะของกาละ-เทศะ ให้เหลือเพียงกากหรือเศษของความจริงเกี่ยวกับกาละ-เทศะเท่านั้นเอง
ดังนั้น 12.5*π เมื่อพิจารณารูปร่างหน้าตา โดยอัตลักษณ์ของมันกล่าวแก่เราตรงๆว่า เทศะเป็นสิ่งต่อเนื่อง ตัดให้ขาดออกจากกันไม่ได้ เพราะมนุษย์ไม่รู้จุดเิริ่มต้นและไม่รู้จุดสิ้นสุดของมัน แต่เรารู้ว่ามันมีอยู่ และอยู่ที่นั่น being there
ดังนั้นคณิตศาสตร์แห่งแสง ที่กำหนด1π = 1 จึงเป็นการอธิบายความต่อเนื่องของกาละเทศะ ที่เราไม่อาจตัดให้ขาดออกจากกันได้ ไม่ว่าจะมีเครื่องมือที่ละเอียดสักเพียงใด ไม่ว่า นาโนเมตร(หรือวินาที) พิโคเมตร(พิโควินาที) เพราะว่า สัตภาวะของกาละ-เทศะนั้น ต่อเนื่อง และบางครั้งอาจแสดงออกว่าเป็นควอนตัมผ่านค่า 1π ซึ่งเป็นตัวแทนของหน่วย(วงกลม) ที่จำกัดแต่ไร้ขอบเขตก็ได้
คณิตศาสตร์แห่งแสง จึงเป็นรากฐานใหม่ของคณิตศาสตร์ เมื่อต้องรับมือกับปัญหาเรื่องความต่อเนื่อง และหรือความเป็นควอนตัมของกาละ-เทศะ ตลอดจนนำไปใช้กับระบบคณิตศาสตร์ปัจจุบันได้เป็นอย่างดี
ตอนต่อไป เราจะมาลองแก้ปัญหาเซโนภายใต้กรอบใหม่นี้(ตอนที่ 5)
Monday_morning.mp3 - Felicia
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น